Continuidad de una función.
Al igual que en lo cotidiano la palabra continuo en matemática significa “sin interrupción” de modo que se dice que una función es continua cuando al realizar su grafica ésta no presenta ninguna interrupción (se puede realizar sin levantar el lápiz) y por tanto no presenta ningún hueco.
Definición de continuidad en un punto.
Una función \(f\) es continua en un punto \(x=c\in\mathbb{R}\) si y solo si, cumple con las condiciones siguientes:
\begin{align}
&\textcolor{#ff0080}{1}~~~f(c)~~{\rm (existe)}\\
&\textcolor{#ff0080}{2}.~\lim_{x\to c}{f(x)}~~{\rm existe}\\
&\textcolor{#ff0080}{3}.~~f(c)=\lim_{x\to c}{f(x)}\end{align}
Continuidad en un intervalo abierto \((a,b)\).
Una función \(f\) es continua en el intervalo abierto \((a,b)\) si y solo si, es continua en cada uno de los puntos del intervalo.
Clasificación de las discontinuidades.
Si una función \(f\) es discontinua en uno o más puntos, entonces se dice que las discontinuidades pueden ser de dos formas removibles (evitables) o no removibles (inevitables). Se dice que una discontinuidad en \(x=c\) es removible cuando el límite de la función existe para el valor \(c,\) en cuyo caso la discontinuidad puede ser evitada redefiniendo la función. Si el límite de la función en \(x=c\) no existe entonces la discontinuidad es no removible.
Continuidad en un intervalo cerrado.
Ya se ha visto y analizado la continuidad de una función para un intervalo abierto, ahora la discusión se vuelca al análisis de lo que ocurre en un intervalo cerrado, y para un intervalo mixto. Dicho análisis permite completar el estudio de la continuidad para una función de una variable dentro del estudio del análisis real.
Continuidad en intervalo cerrado \(\left[a,\ b\right]\)
Una función \(f(x)\) es continua en un intervalo cerrado \( \left[a,b\right]\) si es continua en el intervalo abierto \(\left(a,b\right)\) y además cumple las condiciones, $$1.f\left(a\right)=\lim_{x\to a^+}{f\left(x\right)}\ \ \ y\ \ \ \ \ 2.f\left(b\right)=\lim_{x\to b^-}{f\left(x\right)}$$
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Rectas tangentes a una curva.
Este apartado se inicia con un breve repaso de las ecuaciones de la recta y sus distintas formas según el valor de su pendiente, por considerarlas de gran ayuda al estudiante, donde el uso de la palabra “tangente” no está relacionado con la función trigonométrica del mismo nombre.
Para inciar recuerde que la pendiente de la recta no vertical que pasa por los puntos \(P(x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) está dada por, $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} ~{\rm donde}~ x_2\neq x_1 $$ Esta mide el grado de inclinación de la recta y debido a esto es llamada coeficiente angular. En términos simple la pendiente expresa cuantas unidades la recta aumenta o descrece, por cada unidad desplazada a la derecha en el eje horizontal.
Ejemplo 1. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((2, 4)\) y \((6, 8).\)
Solución: comience por identificar los puntos \(P_1=(2, 4)=(x_1, y_1)\) y \(P_2=(6, 8)=(x_2, y_2)\) ahora determine la pendiente. $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-4}{6-2}=\frac44=1$$ Intercambie los puntos \(P_1\) y \(P_2\) y determine nuevamente la pendiente ¿Qué se puede concluir del resultado? $$\mathrm{Solución:}~~m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{4-8}{2-6}=\frac{4}{4}=1$$ Como se puede ver no importa que punto se elija como \((P_1)\) o \(P_2\) lo que importa es que \(x_1\) esté junto con \(y_1\) y \(x_2\) junto a \(y_2\).
Según sea la ecuación de una recta, esta puede adoptar diferentes formas, la tabla siguente muestra las formas de las ecuaciones de la recta.
Formas de las ecuaciones de la recta
Del primer renglón de la tabla note que la pendiente de una recta vertical no está definida, es decir, si en la expresión para la pendiente el denominador es cero, entonces la recta buscada es vertical.
En la sección # se vio que la recta tangente a una circunferencia es la “recta perpendicular al radio que toca la circunferencia en un solo punto”. Dicho punto es llamado punto de tangencia. Además, se estudió que para dicho punto la recta tangente \(y=mx+n\) tiene el mismo valor que la circunferencia \(x^2+y^2+ax+by+c=0\), en el caso de una curva es un poco distinto el concepto de recta tangente.
La gráfica de una función \(f\) puede tener distinas rectas tangentes, lo que obliga al hablar de recta tangente a la curva en un punto y no de manera general como presenta la definición siguiente.
Recta tangente una curva en un punto.
Sea \(f\) una función cuya gráfica contiene al punto \(x=c\), se dice que la recta que pasa por el punto \(\left(c,f(c)\right)\) cuya pendiente m está dada por:
$$m=\lim_{∆x\to0}\frac{f(c+∆x)-f(c)}{∆x}$$
es la recta tangente a \(f\) en el punto \((c,f(c))\) si límite existe.
Haciendo \(∆x=h\) se puede escribir de una manera más simple como,
$$m=\lim_{h\to0}\frac{f(c+∆x)-f(c)}{h}$$
Además, para los casos específicos en que,
$$\lim_{h \to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=∞ ~~ {\rm o}~~ \lim_{h \to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=-∞$$
La gráfica de \(f\) tiene una tangente vertical a en el punto \((c,\ f(c))\) siempre y cuando la recta \(x=c\) no sea una asíntota vertical.
Ejemplo 1. Determinar de la recta tangente a la gráfica de, $$f(x)=\frac1{x}~~~~{\rm en~el~punto~} (1,1)$$ Solución: la recta tangente tiene la forma \(y=m\left(x-x_1\right)+y_1\) para \(\left(x_1,y_1\right)=(1,\ 1)\) de donde solo hace falta conocer el valor de la pendiente m para escribir la ecuación. \begin{align} &m=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}\ \ {\rm donde}\ \left(c,\ f\left(c\right)\right)=(1,\ 1)\\ &m=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{1+h}-\frac{1}{1}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{1+h}-1}{h}\\ &m=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1-\left(1+h\right)}{1+h}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{1-1-h}{h\left(1+h\right)}\\ &m=\lim_{h\to0}\frac{-h}{h\left(1+h\right)}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{1+h}\\ &m=\lim_{h\to0}\frac{-1}{1}=-1\end{align} De donde la recta tangente \(y=m\left(x-x_1\right)+y_1\)está dada por \(y=-1\left(x-1\right)+1\) que al realizar las operaciones se transforma en \(y=-x+2\).
Ejemplo 2. Escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)=\frac{3x^2-5}{x-3}\) en los puntos \(x=0\) y \(x=3\).
Solución: para \(x=0\) la recta tangente tiene la forma \(y=m(x-0)+f(0)\) donde \(f(0)=5/3\) lo cual produce \(y=m(x-0)+5/3\) así que solo hace falta conocer el valor de \(m\).
\begin{align}
&m=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{3{(0+h)}^2-5}{0+h-3}-\frac{3{(0)}^2-5}{0-3}}{h}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{3h^2-5}{h-3}-\frac{5}{3}}{h}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{3(3h^2-5)-5(h-3)}{3(h-3)}}{h}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{3(3h^2-5)-5(h-3)}{3h(h-3)}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{9h^2-15-5h+15}{3h(h-3)}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{9h^2-5h}{3h(h-3)}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{h(9h-5)}{3h(h-3)}}\\
&m=\lim_{h\to0}{\frac{9h-5}{3(h-3)}}=\frac{5}{9}\end{align}
por tanto, la recta tangente es,
$$y=\frac{5}{9}x+\frac{5}{3}$$
que puede ser escrita como \(9y=5x+15\)
Para \(x=3,~~ f(3)\) no existe (no hay imagen), por tanto, no existe una recta tangente en \(x=3\) para la función.
Ejemplo 3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f(x)= x + \frac{5}{x+2} \ \ \ {\rm en} \ \ P(3,4)$$ Solución: determine la pendiente y aplique la forma punto pendiente para \((x_1,\ y_1)=(3,\ 4)\). \begin{align} &m=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}\ \ \ \ \\ &m=\lim_{h\to0}{\frac{\left(3+h\right)+\frac{5}{3+h+2}-\left(3+\frac{5}{3+2}\right)}{h}}:\\ &m=\lim_{h\to0}{\frac{3+h+\frac{5}{5+h}-\left(3+1\right)}{h}}\\ &m=\lim_{h\to0}{\frac{3+h+\frac{5}{5+h}-4}{h}}\\ &m=\lim_{h\to0}{\frac{\left(h-1\right)+\frac{5}{h+5}}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{\left(h-1\right)\left(h+5\right)+5}{h+5}}{h}}\\ &m= \lim_{h\to0}{\frac{h^2+4h-5+5}{h\left(h+5\right)}}\\ &m=\lim_{h\to0}{\frac{h^2+4h}{h\left(h+5\right)}}=\lim_{h\to0}{\frac{h\left(h+4\right)}{h\left(h+5\right)}}\\ &m=\ \lim_{h\to0}{\frac{h+4}{h+5}}\Longrightarrow m=\frac{4}{5}\end{align} Aplicando ahora la forma punto pendiente para la ecuación de la recta tangente usando \(m=4/5\) y el punto \(P=\left(3,\ 4\right).\) \begin{align} &y-y_1=m\left(x-x_1\right)\Longrightarrow y-4=\frac{4}{5}\left(x-3\right)\\ &5\left(y-4\right)=4\left(x-3\right)\Longleftrightarrow5y-20=4x-12\ \ \Longrightarrow4x-5y+8=0\end{align} Ejemplo 4 una recta tangente vertical. Si para un valor \(x=c\) se tiene que: $$\lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}=\infty\ \ \ \ o\ \ \ \lim_{h\to0}{\frac{f\left(c+h\right)-f\left(c\right)}{h}}=-\infty$$ entonces la recta que pasa por el punto \(x=c\) es tangente vertical a la gráfica de \(f(x)\) en el punto \((c,\ f(c))\).
Ejemplo 5. Una recta tangente vertical. Determinar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto dado. $$f\left(x\right)=\frac{5x-2}{3x-3}\ \ {\rm en} \ \ x=1$$ Solución: aplicando la definición de pendiente para la recta tangente se tiene, \begin{align} &m=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}}\\ &m=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{5(1+h)-2}{3(1+h)-3}-\frac{5(1)-2}{3(1)-3}}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{\frac{3+5h}{3h}-\frac{3}{0}}{h}}\end{align} Note la indeterminación \(3/0\), de donde la pendiente \(m\) no está definida y por tanto, la recta \(x=1\) es tangente vertical.
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Una función polinómica. Determinar la continuidad de la función \(f\left(x\right)=7x^5-5x^3+2x-1\) para cualquier \(c\in\mathbb{R}.\)
Función a trozos. Analizar la continuidad de las función $$f(x)=\left\{\begin{array}1 \sqrt{x-11}~~~~~~~{ \rm si}~~ x>11\\ 11-4x~~~~~~~{\rm si}~~ x< 11 \end{array}\right.$$
Función a trozos. Analizar la continuidad de las función $$h(x)=\left\{\begin{array}1 6x-18~~~~~~~{\rm si~~}x< 3\\ x^2-5x+6~~~~~{ \rm si}~~x\geq3 \end{array}\right.$$
Función a trozos. Analizar la continuidad de la función, $$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 5x+2 ~~ {\rm si~} x < 1\\ 0 ~~~~{\rm si~} x=1\\ 9-2x {\rm si~} x >1\\ \end{array}\right.$$
Una función racional. Determinar los valores para los cuales la función
$$f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2+13x+12}$$
no es continua.
Valores de constante.
Determinar cuánto deben valer las constantes dadas para que la función
$$f(x)=\left\{\begin{array}{l}
ax^2+4~~~~~~~{\rm si~} x< 2\\
x^2-bx+28 ~{\rm si~} 2≤x< 4\\
4x+8 ~~~~{\rm si~} 4≤x\\
\end{array}\right.$$
sea continua en todos sus puntos.
Analizar la continuidad de la función $$f\left(x\right)=\sin{x}~~{\rm en}~~\left[0,\frac{\pi}{2}\right].$$
Determinar si la función
$$f\left(x\right)=\frac{x-2}{5-x}$$
es continua o no en los intervalos \(\left[0,\ 5\right];\ \left[0,\ 5\right)\ {\rm y} \ \left(0,5\right]\)
Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $$f(x)= x + \frac{5}{x+2} \ \ \ {\rm en} \ \ P(3,4)$$
Tangente vertical. Para cuales puntos \(x=c\) la gráfica de una función \(f(x)\) posee una recta tangente
Una recta tangente vertical. Determinar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función en el punto dado. $$f\left(x\right)=\frac{5x-2}{3x-3}\ \ {\rm en} \ \ x=1$$